目录介绍：

• 1、傅里叶变换帕塞瓦尔定理
• 2、已知一个地震波的加速度时程如何确定它的周期？
• 3、地震子波的动力学参数
• 4、您好 一个地震波origin傅立叶变换后我需要出现横轴是角频率的图像 可是变换后的图像里没有啊？
• 5、地震波的动力学特征

傅里叶变换帕塞瓦尔定理

帕塞瓦尔定理Parseval's theorem表明了信号的能量在时域和频域相等。

在数学中，帕塞瓦尔定理经常指“傅里叶转换是幺正算符”这一结论;简而言之，就是说函数平方的和(或积分）等于其傅里叶转换式平方之和(或者积分)。这个定理产生于Marc-Antoine Parseval在1799年所得到的一个有关级数的定理，该定理随后被应用于傅里叶级数。它也被称为瑞利能量定理或瑞利恒等式，以物理学家约翰·斯特拉特，第三代瑞利男爵命名。

物理意义：

一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率）之和。

几何意义：函数可以看作向量，如果一个函数可以用另一组正交完备函数集表示，那么这些完备函数集的每一个分量就是一个基矢量。显然，一个向量的模等于该向量在各个基矢量上投影的平方和。

数学本质：矢量空间信号正交变换的范数不变性。

已知一个地震波的加速度时程如何确定它的周期？

地震波时程曲线 通过傅里叶变换 变成傅里叶谱，反映的只是这一条地震波的特性.反应谱是，比如有周期为1,2,3···50的结构，然后地震来了，计算一下在地震作用下这50个结构的最大反应，得到50个坐标，画出来，就是反应谱了。反映的是这一条地震波对结构的影响。关于天然波的来源，一般结构计算软件，如Midas和SAP2000，都提供了很多波供选用，不过国内的软件PKPM和YJK的地震波更好用，因为他们已经根据特征周期对地震波分好了组。另外美国PEER网站上有世界各地的大量地震波记录，可供免费下载使用。

地震子波的动力学参数

由震源激发，经地下传播并被人们在地面或井中接收到的地震波通常是一个有一定长度的脉冲振动，在地球物理中称为地震子波。它是具有两个特征的信号:有确定的起始时间，能量有限、在很短时间内衰减消失。其基本属性是振动的非周期性。因此，它的动力学参数应有别于描述周期振动的振幅、频率、相位等参数，虽然也沿用这些术语，但除了振幅及相位的定义相同外，其余的要冠以“主”字，例如主频率、主周期、主波长等;而且，由于非周期振动是许多周期振动叠合而成，还需用振幅谱、相位谱等概念来描述。

1.地震波的频谱

根据傅里叶变换理论，任何一个非周期的脉冲振动g(t)都可以用傅里叶积分写成如下形式

地震勘探

式中:t为时间，f为频率;G(f)为频谱，一般为复变函数;j为虚数。式(1-56)是表示一个非周期振动g(t)与周期性简谐振动之间的关系，它的物理意义是:任何一个非周期振动g(t)是由无限多个不同频率、不同振幅的简谐振动G(f)exp(j2πft)之和构成。每一个频率的简谐振动的振幅和初相位由复变函数G(f)决定，G(f)可以写成

地震勘探

其中A(f)、(f)都是实变函数。A(f)表示每个简谐振动分量的振幅，称为振幅谱;φ(f)表示每个简谐振动分量的初相位，称为相位谱。于是式(1-55)中的被积函数可以写成

地震勘探

可见A(f)表示了每个简谐分量对振动g(t)的贡献大小，而(f)表示组成g(t)的简谐振动之间在时间分布上的相互关系。图1-5表示由许多不同频率、不同振幅、不同起始相位的简谐振动合成一个非周期振动的示意图。

图1-5 简谐振动合成非周期振动示意图

图1-6 谱图

式(1-56)的物理意义是:如果已知非周期振动g(t)的形状，那么可以求得其频谱G(f)，进而按式(1-57)求得复变谱G(f)的模A(f)即是振幅谱(图1-6a)。即

地震勘探

式中G(f)=a(f)+jb(f)，a(f)表示G(f)的实部，b(f)表示G(f)的虚部。

复变谱G(f)的幅角是相位谱(图1-6b)。即

地震勘探

振幅谱和相位谱的物理意义十分明显，人们研究波的动力学特征，主要是研究影响这些频谱变化的规律。

式(1-55)和式(1-56)是一对傅里叶变换，前者称傅里叶正变换，后者为反变换，他们之间具有互相单值对应的关系。即任何一个形状的地震波都单一地对应有它的频谱，反之任何一个频谱都唯一地确定一个地震波波形。这就是说地震波的动力学特征既可以用随时间而变化的波形来描写，也可以用其频谱特性来表述。前者是地震波时间域表征，后者则是其频率域表征。由于它们具有单值对应性，因此在任何一个域内讨论都是等价的。

地震子波具有有限的能量，因此振动经过很短的一段时间即衰减为零。它的衰减时间长短称为地震子波的延续时间，它决定了地震勘探的分辨能力，地震子波的延续时间长度与它的频谱之频带宽度成反比。具有无限长延续时间的单频简谐振动对应着很窄的线谱。而仅有单位时间延续长度的δ脉冲则具有无限宽的白噪声频谱即是这种关系的极限例子。

2.地震波的振动图和波剖面图

根据波动方程一般解(1-46)式中的自变量 它既是时间(t)又是空间传播距离(x)的函数，因此就可以从不同的角度描述波动。若在某一固定的距离r=r1(r即x)上观测该处质点位移随时间的变化，用横坐标表示时间t，纵坐标表示质点位移u，这种由u—t坐标系表示的图形称为波的振动图，如图1-7a所示。

图1-7 地震波的振动图和波剖面图

可以用一系列术语来描述振动图。振动图的极值(正或负)称为波的相位，极值的大小称为波的振幅A，相邻极值(或正或负)之间的时间间隔为主(或视)周期T*，主周期的倒数称为主频率图上质点振动的起始时间t1和终了时间t2之间的时间长度Δt=t2-t1，即为波的延续时间。

如果观察时间t=t1时刻，波动在u—r坐标系中的状态。即横坐标代表波动离开震源的距离r，纵坐标仍表示质点离开平衡位置的位移u，这种图形称为波剖面图，如图1-7b所示。

同样，可以用一些术语来描述波剖面。波剖面上具有极大正位移的点称波峰，极大负位移的点称波谷。两相邻波峰(或谷)之间的距离称主(或视)波长λ*，主波长的倒数称为主波数

观察波剖面在介质中的传播路程可以看出，在波到达的介质处，介质的质点都离开平衡位置产生位移;由于岩石介质质点之间是紧密相连的，振动的质点又波及其邻近静止的质点使之振动，由此及彼，形成质点振动相互传递。波在介质传播的过程中，把介质划分为三个球形层(图1-8)。处于球形层内有阴影线的区域内的质点以各自的状态振动，该区称扰动区。其横截面即为波剖面。扰动区的最前端刚开始振动的质点与尚未振动的质点间的分界面称为波前(面)，而扰动区的另一个面是将要停止振动与已经停止振动的质点间之分界面则称为波尾(面)。对于纵波而言，扰动区内某一时刻一些质点互相靠近，形成局部密集带，而另一些质点却彼此离开，形成局部疏松带，结果在扰动区内构成了彼此相间的压缩和膨胀带，如图1-9所示。而且随着波的传播，介质中的压缩带和膨胀带交替更换。对于横波来说，由于其质点位移方向垂直于波的传播方向，在扰动区内，质点运动是与波前(或波尾)面相切的。

图1-8 波前传播原理

图1-9 纵波传播原理

3.地震波场的计算———克希霍夫公式

地震波在理想均匀无限弹性介质中传播时，如何计算波到达空间任一点的波场问题是地震动力学研究的重要内容之一。

早在1690年，惠更斯在描述波动传播时就提出一个原理，其要点是:任意时刻波前面上的每一点都可以看作一个新的波源，由它产生的二次扰动形成元波前，而以后新波前的位置可以认为是该时刻各元波前的包络(图1-10)。这就是著名的惠更斯原理。

图1-10 惠更斯原理示意图

以后菲涅尔补充了惠更斯原理，认为由波前面各点所形成的新扰动(二次扰动)在空间观测点上相互干涉叠加，其叠加结果是该点观测到的总扰动。惠更斯-菲涅尔原理从原则上提出了计算任一观测点波场的思想，但没有解决具体计算问题。

1883年著名德国学者克希霍夫首先解答了这个问题。他提出，如果围绕着观测点P所在的某一闭合曲面S的空间域T，可以计算点P处的位函数(x，y，z，t)。显然，它是由分布在T域内和域外的震源引起的。首先，要计算T域内各点震源P'引起的位函数，至于T域外的震源，可以证明它们的效果等于S曲面上的某个积分。于是，可用坐标(x，y，z)和(x'，y'，z')分别代表场点P和源点P'。用r和r'分别表示该两点的矢径(图1-11)。

图1-11 计算克希霍夫积分的空间域

而R=r-r'表示震源P'点到场点P的距离矢量。其值为R= 解φ由下述克希霍夫公式计算

地震勘探

式中:符号［］表示的是时刻 的而不是时刻t的对应函数值，故［φ］称为延迟位;ρ是T域内的震源分布函数或力位。T'是包围震源P'点的体积元。克希霍夫公式的推导涉及繁杂的计算，可参阅文献(何樵登，1986年《地震勘探原理与方法》)。这里，只指出按照具体情况的不同，公式(1-61)可以简化。例如，当闭合面外及面上均无震源时，面积分项为零，得

地震勘探

这就是非齐次波动方程的解，是由S面内震源发射的振动。当S面内没有震源时，式(1-61)为

地震勘探

这就是惠更斯原理的定量表达式。如果P点在T域以外时，则式(1-61)不能求解。

您好 一个地震波origin傅立叶变换后我需要出现横轴是角频率的图像 可是变换后的图像里没有啊？

你这个太专业了，我不太懂了，不好意思，你看看下面这些对你有帮助吗

因为进行了傅氏变换以后图像上每点的值都成了复数，取abs（即取模值）后才能显示为图像。但是问题是进行变换再取模值后数字有时会变得非常大，拿常用的数据类型uint8（即8位无符号整型数）为例，所能表示的范围仅为0~255，如果数据超过255，在显示图像时系统自动把数据变成255，所以如果有很多数据都超过255，即使这些数据之间差别也蛮大，傅立叶变换显示的图像只会白茫茫一片（255代表白色），看不出差异来。所以需要对这些数据进行处理，常用的就是取对数（log），将很大的数据变成小一些的数据，落在0~255之间，能够准确地表示在图像上，更直观地发现数据之间的差异，也是进行傅氏变换的意义所在，区分高频分量和低频分量。

地震波的动力学特征

由震源激发的纵(横)波经地下传播并被人们在地面或井中接收到的地震波，通常是一个有一定长度的脉冲振动，用数学公式表示就是前节讨论的位移位或位移解。该式是一个函数表达式，它描述了介质质点的振动规律，应用信号分析领域中的广义术语，可称为振动信号，在地球物理领域称为地震子波。对一个随时间变化的振动信号，描述其特征的有振动幅度(简称振幅)A、振动频率ƒ(或周期T)、初相位φ，若考虑信号随空间变化，则还有波长λ或波数k。称用于描述地震波振动特征的参数A、ƒ、T、φ、λ、k为地震波动力学参数。所谓地震波的动力学特征就是由地震波的动力学参数来体现的。以下讨论以球面纵波为例。

1.3.3.1 球面纵波的传播特点

球面纵波的位移解为式(1.3-15)，在位移解UP的表达式中，其振动幅度既与传播距离r2、r有关，又与震源函数Φ(t)及Φ′(t)有关。分两种情况讨论。

1.3.3.1.1 近震源情况

当靠近震源时，r比较小，有条件

地震勘探原理、方法及解释

则

地震勘探原理、方法及解释

可见在近震源时，质点位移UP与震源函数Φ(t)成正比，与r2成反比。

1.3.3.1.2 远震源情况

当波传播远离震源时，r比较大，这时有

地震勘探原理、方法及解释

则

地震勘探原理、方法及解释

在远离震源时，质点位移UP与震源函数的一阶导数Φ′(t)成正比，与传播距离r成反比。

综合两种情况可得出以下结论：

1)在近源区，质点振动规律(波函数)主要由震源函数Φ(t)确定，而在远震源区，质点振动规律主要由Φ′(t)确定。说明随着传播距离r的变化，地震子波函数在不断发生变化，也说明了地震子波的复杂性。

2)在近源区，位移振幅与r2成反比衰减，且衰减较快。在远源区，位移振幅与r成反比衰减，衰减较慢。当r很大时，地震波振幅逐渐趋于稳定。

1.3.3.1.3 波前、波带及波尾

通常地震勘探是在远离震源区的位置观测地震波，因此，在上述讨论远震源情况的基础上，要进一步讨论有关波前、波带和波尾的概念。

已知远离震源时，质点位移函数由震源函数的一阶导数Φ′(t)确定，而Φ′(t)又是由Φ(t)确定的。按照胀缩点源的定义，假设点源是一脉冲震源于t=0时开始作用，作用延续时间为Δt，则震源函数Φ(t)为

地震勘探原理、方法及解释

其一阶导数Φ′(

)可表示为

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由式(1.3-21)Φ′(

)的存在条件

地震勘探原理、方法及解释

当t=t1时，波动在空间的存在范围是

VP(t1-Δt)≤ r≤VPt1 (1.3-24)

或

r1≤ r≤ r2 (1.3-@25)

式中：r1=VP(t1-Δt)，r2=VPt1，Δr=r2-r1=ΔtVP。

该式的含义可用图1-2表示，即波从O点出发，经t=t1-Δt时间到达r1点，再经Δt时间到达r2点。由于波的振动延续范围为Δr，故当r2点开始振动时，r1点振动正好停止。因此，称r2点为波前，以r2为半径的球面为波前面。称r1点为波尾，以r1为半径的球面为波尾面。称r1到r2之间正在振动的部位为波动带，简称波带。这样可由波前面、波尾面将无限大空间划分为3个区域：r≤r1称为波尾区，表示波动已停止的区域，代表了波后的状态；r1＜r≤r2称为波动区，表示波动正在进行的区域；r＞r2称为波前区，表示尚未波动的区域，代表了波前的状态。

在波动区，由于位移UP是由震源函数的一阶导数确定，所以相邻质点的位移状态是不相同的，有部分相邻介质可能是相互靠近，形成介质的局部密集带，称为压缩带。而有些介质彼此分开，形成局部疏松带，称为膨胀带。这些压缩带和膨胀带不间断交替更换，使地震波不断向前传播，这就是纵波(胀缩波)的传播特点。

图1-2 波前、波尾及波动带

1.3.3.2 地震波的波剖面和振动图

地震波传播除速度外主要与两个参数有关，即时间(t)和空间位置(r)。分别考虑：当时间一定时，不同位置质点的位移状态；或当位置不变时，质点随时间振动的情况，可得出波剖面和振动图的概念。

1.3.3.2.1 波剖面

考虑波动带内的情况，当时间t=t1时刻，观察波动带内沿波传播方向(r)各质点的位移状态图形，称为波剖面。若用正值表示压缩，用负值表示膨胀，则波剖面可用图1-3(a)表示。

在波剖面中，正峰值称为波峰，负峰值称为波谷，相邻波峰之间的距离为视波长λ，λ的倒数为视波数

。

1.3.3.2.2 振动图

在波动区内选一质点P，由于波动中膨胀和压缩是交替进行的，所以对P点而言位移也是正负变化的，观察质点P随时间的位移变化状态可用图1-3(b)表示。

则称该质点随时间的位移图形为振动图。振动图的极值(正或负)称为波的相位，极值的大小称为波的振幅，相邻正极值(或负极值)之间的时间间隔为视周期T，视周期的倒数为视频率

。视波长λ与视周期的关系为λ=T·V。

图1-3 地震波的波剖面和振动图

在地震勘探中，是将检波器放在地表或地下(井中)某一位置接收地震波，所以地震仪接收的单道记录为振动图，而由空间阵列检波器接收的多道记录包含了振动图和波剖面两部分。

1.3.3.3 地震波的能量和球面扩散

地震波的传播实质是能量的传播。由物理学中的波动理论可知，波在介质中传播时的能量等于动能Er和位能EP之和。设波通过的介质体积为W，介质的密度为ρ，对简谐振动来说，则波的能量E可用下式表示：

E=Er+EP∝ ρA2ω2W (1.3-26)

式中：A表示波动的振幅，ω=2πƒ，ƒ表示波的频率。

上式说明，波的能量与振幅平方、频率的平方及介质的密度成正比。于是包含在介质中单位体积内的能量，称为能量密度e：

地震勘探原理、方法及解释

定义单位时间通过介质面积S的能量为能流通量，则单位时间通过单位面积的波的能量为能流密度或波的强度I，因为实际地震勘探是在波前面的单位面积上观测波的能量信息的，如果时间dt内通过面积dS的能量为e·υ·dt·dS，则波的强度I为

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式中：V为速度。所见波强度是正比于波的振幅平方、频率平方及密度和速度。

现在我们来研究球面波的能量密度。图1-4表示一个从中心O发出的球面纵波的波前示意，两个球面的半径分别为r1和r2，以r1、r2为半径的球面与以Ω为主体角的锥体相交的面积分别为S1和S2，相交域内锥体的侧面积为S3。由于球面波沿r方向传播，S3中无能量流通，波仅是从S1面流入，从S2面流出，因此，通过S1面和S2面的能流通量应相等，即有：

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式中：IS1、IS2分别为S1面和S2面的能流密度。显然有关系：

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或

地震勘探原理、方法及解释

从以上两点可得出结论：①波的强度 I 与传播距离成反比；②波的振幅 A 与传播距离成反比。

图1-4 球面波能量密度示意

形成这种关系的物理解释是因为随着传播距离r的增大，球面越来越大，在能量守恒的条件下，相同的能量重新分配在越来越大的球面上，这必然造成能流密度I随r增大而减小，I越小，振幅A也随之减小。把这种现象称为球面扩散或几何扩散。球面扩散不存在能量损失问题，仅是能量重新分配，这种能量变化与地下岩石弹性参数无关。

1.3.3.4 地震波的谱分析

在上述讨论中已知，地震波场可用振动图和波剖面描述，而振动图和波剖面的特征是由几个动力学参数A、ƒ(或T)、φ、λ(或k)表示。怎么才能知道地震波的频率成分或波数，傅里叶(Fourier)变换是进行地震波频谱和波数谱分析的数学工具。

根据傅里叶变换理论，设时间域非周期函数(振动图信号)为x(t)，则x(t)的傅里叶变换为

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式中：X(ƒ)为频率域复函数，称为x(t)的频谱。由于复函数可表示成

X(ƒ)=Xr(ƒ)+iXi(ƒ)=｜ X(ƒ)｜ eiφ(ƒ)=A(ƒ)eiφ(ƒ)(1.3-33)

其中

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A(ƒ)称为x(t)的振幅谱，φ(ƒ)称为x(t)的相位谱。由振幅谱可知道时间函数x(t)中包含的简谐波频率成分以及各频率简谐波的幅度值，由相位谱可知道参与叠加x(t)的各频率简谐波的初相位。以上过程为振动图的频谱分析。若将振动图换为波剖面函数，仿照以上方法，则可完成波剖面的波数谱分析。通常对二维地震记录做二维傅里叶变换，即可一次完成频波谱分析。